Công thức tính diện tích hình phẳng (siêu hay)

Công thức tính diện tích hình phẳng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tính diện tích hình phẳng (siêu hay)

Quảng cáo

1. Công thức

• Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó, diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:

S = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

• Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:

S = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$.

Nếu phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (a; b) thì công thức trên vẫn đúng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x – 2, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3.

Lời giải

Diện tích hình phẳng đã cho là:

S = $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|x-2\right|dx$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-2\right|dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x-2\right|dx$

= $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2-x\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-2\right)dx$

= ${\left.\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_1^2+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|}_2^3$ = 1

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x³ – 2x², y = x² – 4 và hai đường thẳng x = – 1 và x = 2.

Lời giải

Diện tích hình phẳng đã cho là:

S = $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|\left(x^3-2x^2\right)-\left(x^2-4\right)\right|dx$ = $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-3x^2+4\right|dx$.

Ta có x³ – 3x² + 4 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 2.

Vậy S = $\left|\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-3x^2+4\right)dx\right|$ = $\left|{\left.\left(\frac{x^4}{4}-x^3+4x\right)\right|}_{-1}^2\right|$

= $\left|\frac{2^4-1}{4}-\left(2^3+1\right)+4\left(2+1\right)\right|=\frac{27}{4}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3π.

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4x – x³, trục hoành và hai đường thẳng x = – 2, x = 1.

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x² + x – 1 và y = x⁴ +  x – 1.

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x³ – 3x, y = x và hai đường thẳng x = – 1, x = 2.

Bài 5. Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình dưới đây. Tính diện tích của của cửa hầm.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay

• Công thức viết phương trình mặt phẳng

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng